Ελκυστικοί περίπατοι (2)

Τον περίπατο αυτό τον ξεκίνησα αλλού, αλλά αφού πέρασε από εδώ πρέπει κάπως να τον τελειώσω, τουλάχιστον όσον αφορά στην παρουσία του εδώ. Και αν ακούγομαι επιφυλακτικός είναι γιατί είναι θέματα εξειδικευμένα που δεν τα ξέρω τόσο καλά ώστε να τα πω με λίγα λόγια.

Η θεωρία του Χάους έχει μαγέψει πολλούς επιστήμονες και πολλούς απλούς ανθρώπους. Βασικά πρόκειται για μαθηματικά που περιγράφουν δυναμικά συστήματα που εξελίσσονται με τον χρόνο ή σε άλλες πραγματικές ή νοητικές διαστάσεις. Το «Χάος» καθ’ εαυτό, αναφέρεται στο ότι οι μερικές από τις εξισώσεις των «Μαθηματικών» αυτών είναι εκθετικές, έχουν δηλαδή μεταβλητές «στο τετράγωνο» ή «στον κύβο» κλπ, που σημαίνει ότι μικρές αλλαγές σε αρχικές συνθήκες έχουν μεγάλα και φαινομενικά απρόβλεπτα αποτελέσματα.

Τα μαθηματικά μοντέλα που αναφέρονται σαν «Χαώδη» περιγράφουν ή προβλέπουν τον καιρό, νευρικά συστήματα, αλγόριθμους συμπίεσης ή κρυπτογράφησης δεδομένων, κοινωνικές συμπεριφορές, οικονομικά μοντέλα, υδροδυναμική κλπ κλπ.

Τα μαθηματικά μοντέλα απεικονίζονται και γραφικά. Είδατε πως το πιο απλό εκκρεμές απεικονίζεται με έναν «ελκυστή» που είναι κύκλος. Οι εξισώσεις που περιγράφουν το απλό εκκρεμές (χωρίς τριβή από αέρα) είναι απλές. Όσο πάμε να απεικονίσουμε την αληθινή πραγματικότητα, οι εξισώσεις γίνονται πολύπλοκες και τα γραφήματα που τις περιγράφουν πολύπλοκα έως φανταστικά όμορφα.


Το είχα πει και στον προηγούμενο ελκυστικό περίπατο, ότι το εκκρεμές, ή συνδυασμός από εκκρεμή, απεικονίζουν εξαιρετικά πολύπλοκά φυσικά φαινόμενα. Παραθέτω την προσομοίωση μερικών τέτοιων εκκρεμών εδώ:

http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html
http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublespring.html
http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/springpendulum.html
http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/swingingspring.html
Το τελευταίο είναι ενδιαφέρον γιατί δείχνει το εκκρεμές από διαφορετικές γωνίες.

Και για όσους μπορούν να κατεβάσουν video σε YouTube:

http://www.youtube.com/watch?v=__Nkg36dvT0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=8JhDbR7tDbg&NR=1


Και για να το κλείσω… Τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ή υπάρχουν σε διαστάσεις. Ένα σημείο είναι σε διάσταση «0». Μία γραμμή είναι μονοδιάστατη. Ένα επίπεδο είναι σε δύο διαστάσεις, εμείς είμαστε σε 3, άντε με τον χρόνο 4, κλπ. Οι ελκυστές (όπως ο κύκλος ή το σπιράλ που περιγράφουν το εκκρεμές) είναι σε έναν κόσμο με «ακέραιο» αριθμό διαστάσεων, 0, 1, 2, 3 κλπ. Ένας «παράξενος ελκυστής» είναι σε μη ακέραιο αριθμό διαστάσεων (1,4 3,2 2,5 κλπ). Αν βοηθάει η εξήγηση… Αν δεν βοηθάει, περιοριστείτε, όπως εγώ, στο να απολαμβάνετε την απεικόνιση του διαγράμματος φάσης (αντίστοιχο του κύκλου του εκκρεμούς)

Αν τρώγεστε για περισσότερα, δείτε το http://www.ocf.berkeley.edu/~trose/rossler.html#back, ή με google στην λέξη χάος, ή chaos, attractors κλπ και θα περιπλανηθείτε για τα καλά, ας πούμε αν αρχίσετε από την wikipedia. Βοηθάει αν σας άρεσαν οι διαφορικές εξισώσεις στο σχολείο…